Operaciones con los reales basadas en relaciones de sólidos platónicos. Juguemos

Sólidos platónicos

Sólidos platónicos es lo mismo que sólidos perfectos o poliedros regulares convexos. Son cuerpos cerrados convexos cuyas caras son todos polígonos regulares iguales. Y tienen una particularidad muy pero muy interesante: sólo hay cinco.

La historia cuenta muchas cosas. Vamos a hacerla corta: los sólidos platónicos se llaman así en honor a Platón (387 a. C. - 347 a. C.), un filósofo y matemático muy crack de la Antigua Grecia. Pero parece que los sólidos en realidad debieran llamarse pitagóricos, en honor a otro matemático y filósofo muy crack: Pitágoras (570 a. C. - 490 a. C.) o a alguno de sus discípulos que los descubrieron un tiempo antes. Aunque, en realidad los egipcios mucho antes también los conocían. Como los escoceses, allá también por el neolítico, usaban piedritas que más o menos tenían formas poliédricas regulares. ¡Unos crack también los egipcios y escoceses!

Figura 1. Bolas de Piedra talladas del Hunterian Museum de Glasgow (Escocia). Recuperado de: https://culturacientifica.com/2024/01/24/los-solidos-platonicos/

La cosa es que Platón les dedicó tiempo de estudio. El Timeo no es un libro muy matemático que digamos, aunque sí era la matemática de la época. Nos enreda un poco con que cada uno de los sólidos platónicos representan un elemento. Algo más o menos así: tetraedro es el fuego, el hexaedro es la tierra, el icosaedro el agua, y el octaedro el aire, dejando el dodecaedro para el Universo.

Figura 2. Representación antigua de los cinco sólidos platónicos en el libro de Kepler (1571-1630) "Harmonices Mundi" ("La harmonía (sic) del mundo"). En esta ilustración se muestran los poliedros y su asociación con los cuatro elementos y el Universo. Recuperado de: https://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/platonicos/solidos.html

Una cita textual de Timeo dice 

". . .Debemos pensar que todas estas cosas son en verdad tan pequeñas que los elementos individuales de cada clase nos son invisibles por su pequeñez, pero cuando muchos se aglutinan, se pueden observar sus masas y, también, que en todas partes dios adecuó la cantidad, movimientos y otras características de manera proporcional y que todo lo hizo con la exactitud que permitió de buen grado y obediente la necesidad." (Aldana, Paricio, & Rodríguez, 2001)

Básicamente dice que todo lo que habita el Universo está formado por estos elementos y estos sólidos que lo representan, y cierto orden. Y claro que hoy sabemos que eso no es así. No obstante, no deja de ser extraordinario el apropiado carácter intuitivo que tenían estas especulaciones en épocas desprovistas de prácticamente todo conocimiento.

La estructura atómica de los materiales, estudiada en ciencia de los materiales, por ejemplo, nos demuestra muchos siglos después que el gran Platón no estaba tan equivocado, sino que le faltaba un buen microscopio de alta resolución.

Figura 3. Distintas estructuras poliédricas vistas en ciencia de los materiales. Adaptado de: Shackelford, J. F. 

No queremos extendernos ya que nuestra propuesta se basa en la operatoria con los reales a partir de ciertas relaciones encontradas entre los elementos y propiedades de los sólidos platónicos. No obstante, se recuerdan tópicos muy importantes del tema:

-Propiedad de Euler

-Propiedad dual

-Número áureo

-Demostración de por qué sólo hay 5 (sorprende los sencilla que es)

Propuesta didáctica

Presentamos el juego:

Figura 4. Presentación de Relaciones platónicas. Un juego sobre operaciones con los números reales basado en relaciones de sólidos platónicos. Fuente: Elaboración propia. 

Objetivos:

·Diseñar y construir un sólido platónico a partir del desarrollo de este.

· Traducir del lenguaje coloquial al simbólico.

· Resolver operatoria con enteros, racionales e irracionales a partir de ciertas relaciones encontradas entre los elementos y propiedades de los sólidos platónicos.

Reglas y mecánica:

Se forman grupos de 5 estudiantes. Cada uno debe diseñar su propio sólido platónico. Hay diseños muy vistosos. Puede promocionarlo con cualquier cosa (respetuosa) que sea de su agrado. Con una sola condición: todos deben tener el mismo volumen=1000cm3

Es muy recomendable pensar en el desarrollo plano del mismo para poder construirlo.

Figura 5. Ejemplo de desarrollos planos de cuerpos geométricos. Extraído de un Manual de clases. Fuente: Barrutia, S. 

Cada participante debe tener una hojita borrador y algo para escribir. No hace falta calculadora.

Comienza quien tenga el Tetraedro. Debe tomar una carta de El Oráculo solicita… Hay dos tipos de cartas: El Oráculo solicita… (15) y Eros solicita… (15).La primera nos da el desafío o misión a resolver. La segunda sólo se toma si se resuelve de manera correcta el desafío*. En ella tenemos una orden de Eros clasificada según el resultado del desafío fuera un número entero, racional o irracional. Ejemplo: el desafío del Oráculo me da de manera correcta raíz(3), entonces en la carta de Eros tomada, debo cumplir la orden de los irracionales. Si no resolvemos correctamente la carta del Oráculo, no se levanta carta de Eros.

Para resolver el desafío, contamos con el Timeo. Hace las veces de apuntes del mismísimo Platón. En él contamos con toda la información y fórmulas necesarias. Las cartas del Oráculo tienen dos puntajes: uno más alto si se decide no consultar el Timeo, y uno más bajo si es consultado.

Debe asignarse un tiempo para resolver el desafío. Hay desafíos que son muy sencillos, y otros que pueden tener algo más de dificultad. Se sugiere un tiempo de 4 minutos por desafío.

El juego termina cuando todos los jugadores han sacado tres cartas del Oráculo independientemente de si haya resuelto correctamente o no el desafío. Gana quien tenga más puntaje.

*Nosotros tenemos la hoja con todas las respuestas, pero no la publicamos para que no se filtren en el aula. De cualquier manera no son complejas de resolver en el momento.

Cartas del Oráculo:

Cartas de Eros:

Timeo:

Bibliografía

Aldana, J. I. E., Paricio, L. J. H., & Rodríguez, M. T. R. (2001). Poliedros. In Margarita mathematica: en memoria de José Javier (Chicho) Guadalupe Hernández (pp. 139-167). Universidad de La Rioja. Recuperado de:

https://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.unirioja.es/cu/luhernan/Divul/Polipdf.pdf

Barrutia, S. (2021). Dinámica matemática 2. Guía para el docente. Puerto de Palos.

Cardil, R. (sin fecha). Sólidos platónicos. Matemáticas visuales. https://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/platonicos/solidos.html

Colegio Nacional de Matemática (2009). Geometría y trigonometría. Primera edición. Pearson Educación.

Euclides. Elementos. Libro V-XIII. Recuperado de: https://archive.org/details/euclides.-elementos.-libros-v-xiii-ocr-g-1994

Ibáñez, R. (2024, enero 24). Los sólidos platónicos. Cuaderno de cultura científica. https://culturacientifica.com/2024/01/24/los-solidos-platonicos/

Shackelford, J. F. (2005). Introducción a la ciencia de materiales para ingenieros. Pearson Educación.