La pascalina: El Complemento a 9
"Pascal, este loco sublime que nació un siglo demasiado pronto." Voltaire
Paradojas de la vida hay muchas. Pero esta es buenísima.
Blaise Pascal, francés creyente contemporáneo de Descartes, Fermat, Roberval y otras gentes lúcidas de la época, tuvo una idea por la cual pasó a la historia: ayudar a su padre.
Con tan sólo 19 años se puso a pensar y construir la máquina de calcular. Una de las primeras. Y la primera que funcionó adecuadamente. Con el claro propósito de ayudar a su padre, Étienne, quien también era matemático, recaudador de impuestos de la Corona francesa, y pasaba noche tras noche con laboriosos cálculos manuales.
La pascalina… (ojo, vamos a hacer un paréntesis importante: no confundir con la pascualina que es una tarta riquísima muy tradicional típica de nuestras abuelas, en fin, en otro posteo va la receta) …sigamos, la pascalina, es una máquina de calcular que funciona como toda máquina de la época, gracias a engranajes, pero también muy interesante desde el punto de vista matemático, para comprender cómo funcionan los algoritmos que resuelven las sumas y restas (sobre todo las restas). Y además, venían tres líneas de producto para usos específicos: decimal, contable y topográfico. O sea, lo que hicieron HP y Texas Instruments trecientos treinta años después…
Figura 1. Ejemplar de la Pascalina. Fuente: Por David Monniaux, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=186079
Antes de seguir, un par de cuestiones. Primero, la genial locura de pensar que un lenguaje como el matemático, podía traducirse a un lenguaje mecánico. Pensemos que, para la época, ni siquiera se contaba con un sistema numérico bien definido y su aritmética (sí la aritmética para la suma y la resta). Tampoco un sistema de medidas internacional unificado. Y como si fuera poco, la cultura relojera no dio pie con bola, así que se la tuvo que rebuscar solito. Sí, la tuvo que construir él mismo, pieza por pieza.
¿Y dónde está lo paradójico? Es que, de forma breve, muy breve, la cosa en 1640 era más o menos así:
Ese fue el momento en que la humanidad decidió que ya era hora de jubilar (al menos en una buena parte) el viejo modelo de Aristóteles y Tomás de Aquino, donde todo se explicaba con mucha filosofía, metafísica, y muy poca prueba, para darle la bienvenida a la ciencia moderna: si se puede experimentar y probar, bienvenido sea, y si no, conjeturas nada más.
Pero, atento: Pascal fue pionero en poner límites claros en todo esto. Fue de los primeros en decir: Veamos, una cosa es cómo cae una piedra (ciencia del mundo físico), y otra muy distinta, es por qué tenemos alma (teología del mundo espiritual). No mezclemos almas con manzanas, perdón digo, peras. Aunque practicaba la razón para entender el mundo físico, a veces le llevaba la contraria a los racionalistas más extremos de su época, y era lo suficientemente astuto para entender que el corazón y la moral tienen razones que la lógica simplemente no alcanza a procesar. De allí su frase más citada:
"El corazón tiene razones que la razón no entiende." Kepler
Por eso esta historia. Y quizás por eso también, si bien la pascalina no llegó a ser un éxito comercial, fue una calculadora creada por amor a su padre, y con piedad para con su gente. O al menos, eso es lo que queremos creer.
Dato curioso:
Pascal no sólo es protagonista de esta maravillosa paradoja de la historia. Es además autor de la paradoja hidrostática, famoso hallazgo encontrado mientras experimentaba con presiones atmosféricas, vacíos y prensas hidráulicas.
Propuesta didáctica:
Dejamos a continuación una interesante línea de investigación para trabajar con nuestros estudiantes:
¿Cómo resolvió Pascal en su pascalina el algoritmo para la resta?
El Complemento a 9
Explica que el complemento a 9 de un número de un solo dígito es lo que le falta para llegar a 9:
- El complemento de 3 es 6 (9 - 3 = 6)
- El complemento de 7 es 2 (9 - 7 = 2)
En la pascalina, cada rueda tenía dos escalas de números: una externa, para sumar, y una interna, oculta o desplazada, para restar, que mostraba precisamente los complementos.
El algoritmo
Para restar A - B, el algoritmo que usaba Pascal (y que los alumnos pueden replicar con papel y lápiz) es:
- Hallar el complemento a 9 del sustraendo (B).
- Sumar ese complemento al minuendo (A).
- Sumar 1 al resultado final (esto se conoce como "el transporte" o end-around carry).
- Ignorar el dígito de la izquierda si excede la capacidad de las ruedas configuradas.
Ejemplo práctico resolver la resta: 52 - 18
- Paso 1: Complemento a 9 de 18: (9-1=8) y (9-8=1). Nos da 81
- Paso 2: Sumamos 52 + 81 = 133
- Paso 3: Sumamos 1 al resultado: 33 + 1 = 34
- Resultado: 34 ¿Interesante no?
La Pascalina de papel
Pide a los alumnos que fabriquen dos tiras de números:
- Tira A (Negro): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Tira B (Rojo): 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 (colocada justo debajo)
Hacer que resuelvan restas usando solo la "Tira B" pero realizando movimientos de suma. Esto les permite visualizar cómo Pascal transformó una operación prohibida (restar) en una permitida (sumar). Esta técnica es el ancestro directo del a Complemento a 2 que utilizan los procesadores modernos para realizar restas mediante sumadores binarios.
Bibliografía:
Deulofeu Piquet, J., Deulofeu Batllori, R. (2016). Pascal. Los fundamentos de la probabilidad. Grandes ideas de la ciencia. RBA